##### 階乘(Factorial)函數

#{{{
\begin{eqnarray}
Factorial(n) &=& n! \nonumber \\
&=& 1 \times 2 \times 3 \times \dotsb \times (n - 1) \times n \nonumber \\
&=& [1 \times 2 \times 3 \times \dotsb \times (n - 1)] \times n \nonumber \\
&=& n \times (n - 1)!
\end{eqnarray}
}}}#

#{{{
0! = 1
}}}#

• 32位元：12!
• 64位元：20!
• 128位元：34!
• 256位元：57!

##### N!有幾位數？

#{{{
\lfloor {log_{10}N} \rfloor + 1
}}}#

#{{{
\begin{eqnarray}
&&\lfloor {logN!} \rfloor + 1 \nonumber \\
&=& \lfloor {log(1 \times 2 \times 3 \times \dotsb \times N)} \rfloor + 1 \nonumber \\
&=& \lfloor {log1 + log2 + log3 + \dotsb + logN} \rfloor + 1
\end{eqnarray}
}}}#

#{{{
n! \approx {\sqrt{2 \pi n}}{({n \over e})}^n
}}}#

#{{{
\begin{eqnarray}
&&\lfloor {logN!} \rfloor + 1 \nonumber \\
&\approx& \lfloor {log({\sqrt{2 \pi N}}{({N \over e})}^N)} \rfloor + 1 \nonumber \\
&=& \lfloor { {1 \over 2}log(2 \pi N) + Nlog({N \over e}) } \rfloor + 1 \nonumber \\
&=& \lfloor { {1 \over 2} \times [log(2 \pi) + logN] + N \times [logN - log(e)] } \rfloor + 1
\end{eqnarray}
}}}#

##### N!的尾端有幾個0？

#{{{
\lfloor {N \over 5} \rfloor + \lfloor {N \over 25} \rfloor + \lfloor {N \over 125} \rfloor + \dotsb + \lfloor {N \over 5^i} \rfloor, 5^i \leq N
}}}#

#{{{
\lfloor {N \over 5} \rfloor + \lfloor {{N \over 5} \over 5} \rfloor + \lfloor {{{N \over 5} \over 5} \over 5} \rfloor + \dotsb
}}}#